Цель исследования: рассмотреть понятие вектора с точки зрения автомеханики. Задачи исследования: 1. Рассмотреть определение понятия «Вектор» в математике и технической механике. Эта презентация создана для помощи ученикам и учителям в подготовке к уроку по теме Применение векторов к решению задач. Данная работа будет полезна при подготовке доклада, выступления, при выполнении домашнего задания, создании творческого проекта. Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Программа GeoGebra поспособствует опыту решения пространственных задач векторно-координатным методом, учащиеся более осознано смогут подойти к алгоритму решения задачи на ЕГЭ. А вот понятие равенства для векторов есть. Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (Русаков метод реш зад механике), страница 25
Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Для скалярного произведения выполняются следующие свойства. Примеры решения геометрических задач векторным методом Пример1. Изучите, как использование векторов в 2024 году способствует решению сложных проектных задач, улучшению алгоритмов искусственного интеллекта и разработке инноваций в различных отраслях. Проект предполагает изучение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве, его свойств и применение для решения различных задач. Основными компонентами векторного решения метода решения задач являются: 1) перевод условия задачи на язык векторов, в том числе: § введение в рассмотрение векторов; § выбор системы координат (если это необходимо); § выбор базисных векторов; § разложение всех.
Эвристическая деятельность учащихся при изучении темы "Векторы"
Перевести полученный результат на геометрический язык. Примеры типов задач, которые решаются векторным методом Приведем теперь примеры классических задач, решаемых с помощью векторного метода Не приводя их решений. Задачи на доказательство параллельности. Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок. Задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой.
Мало хотеть, надо и делать».
Гете Что помогло вам быстро справиться с этим заданием? Формулировка темы урока: «Применение векторов в прикладных науках».
Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман 1809 — 1877.
Англичанин Уильям Клиффорд 1845 — 1879 сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса 1839 — 1903 , который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками.
В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничится лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно — геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое определение бы мы не взяли, вектор — с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением т.
Что же такое вектор? Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. Так же, две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом, т. И действительно, можно было бы принять такое определение: «Вектором называется всякий параллельный перенос», то определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории.
Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь так же не сможет удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далёким от физических представлений о векторных величинах. Итак, вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков. На чертежах вектор изображается отрезок со стрелкой т.
Выясните все по возможности соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны или могут быть связаны с выбранным вами соотношением. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.
Урок "Применение векторов к решению задач"
Понятие вектора. Исторические аспекты векторного исчисления 5 1. Понятие вектора 7 Глава 2. Операции над векторами 11 2. Сумма двух векторов 11 2. Основные свойства сложения векторов 12 2.
Сложение нескольких векторов 13 2. Модули сумм и разностей векторов 16 2. Произведение вектора на число 16 Глава 3. Координаты вектора 20 3. Разложение вектора по координатным векторам 20 3.
Координаты вектора 21 Глава 4. Примирение векторов к решению задач. Такие физические величины называются векторными величинами или коротко векторами. Вектор — одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом длиной и направлением.
Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виде целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скоростью поступательно движущегося тела , ускорение, сила и др.
Актуализация опорных знаний.
А теперь перейдем к практическому решению задач. Какие из указанных векторов равны? При решении задачи вы использовали свои знания о векторах.
Повторим их. Дайте определение или ответьте на вопрос. Сформулируйте определение вектора.
Какие векторы называются равными? Что называется длиной модулем ненулевого вектора?
Поскольку рассмотренные векторы имеют общую точку, то они лежат на одной прямой, что в свою очередь доказывает, что точка М принадлежит прямой KL. Список использованной литературы: Атанасян Л. Учебник: Геометрия. Атанасян, В.
Тогда второй отменит лишь часть неприятностей или отменит больше, чем было? Если мы используем понятие вектора только для решения геометрических задач, то не столь важно каким именно определением мы пользуемся. Но в среде математиков слова: "вектор это направленный отрезок" лучше лишний раз не произносить. Мы с вами поговорим о векторном способе решения задач. Для этого нам нужно несколько понятий и определений: коллинеарность, сонаправленность, равенство векторов. Не будем писать много текста по этому поводу, думаю на картинке всё достаточно понятно. Не всегда математикам хватает фантазии, чтобы придумать все операции над объектами, но они стараются. Итак, сложение векторов.
Два популярных способа сложить два вектора представлены на картинке. Думаю суть понятна. Да, это лень. А с умножением векторов все постарались и придумали несколько вариантов. Во-первых, мы можем умножить вектор на число вектор растянется или сожмется , во-вторых, мы можем умножать векторы скалярно и в-третьих, можем выполнить векторное умножение. Пишите в комментариях, если хотите статью на тему применения произведения векторов к решению задач.
Применение векторов к решению задач
С помощью алгебраических преобразований из того, что дано, получаем, что необходимо. Из приведенного алгоритма видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. Данный параграф посвящен исследованию роли и места векторного метода в решении математических задач, а также возможностей этого метода для формирования эвристических приемов. Вектор – это автономная молекула ДНК(слайд 6), используемая в генной инженерии(слайд 6).С помощью векторов синтезируются различные лекарства и антибиотики(слайд 6). 2. Актуализация опорных знаний. А теперь перейдем к практическому решению задач. Основные методы решения стереометрических задач: 1. Поэтапно-вычислительный метод 2. Координатный метод 3. Координатно-векторный метод 4. Метод объёмов 5. Метод ключевых задач. Существует два способа решения задач по стереометрии.
"Изучение векторов в школьном курсе математики"
Я заметил, что мне намного проще внимательно слушать лекции по интегральному исчислению, думая о практическом его применении, которое мы только что описали. Вычитание векторов Вычитание рассчитывается по тому-же принципу что и сложение — вычитаем соответствующие компоненты векторов. Вычитание векторов удобно для получения вектора, который показывает из одного местоположения на другое. Например, пусть игрок находится по координатам 1, 2 с лазерным ружьём, а вражеский робот находится по координатам 4, 3. Чтобы определить вектор движения лазерного луча, который поразит робота, нам надо вычесть местоположение игрока из местоположения робота. Умножение вектора на скаляр Когда мы говорим о векторах, мы называем отдельные числа скалярами.
Например 3, 4 — вектор, а 5 — это скаляр. В играх, часто бывает нужно умножить вектор на число скаляр. Например, моделируя простое сопротивление воздуха путём умножения скорости игрока на 0. Чтобы сделать это, нам надо умножить каждый компонент вектора на скаляр. Если скорость игрока 10, 20 , то новая скорость будет: 0.
Длина вектора Если у нас есть корабль с вектором скорости V 4, 3 , нам также понадобится узнать как быстро он двигается, чтобы посчитать потребность в экранном пространстве или сколько потребуется топлива. Чтобы сделать это, нам понадобится найти длину модуль вектора V. Длина вектора обозначается вертикальными линиями, в нашем случае длина вектора V будет обозначаться как V. Это легко сделать, комбинируя две вышеописанных операции: вычитание векторов и их длину. Мы вычитаем P — E, чтобы получить вектор между ними.
А затем определяем длину этого вектора, что и даёт нам искомое расстояние. Порядок следования операндов тут не имеет значения, E — P даст тот-же самый результат. Это сильно упрощает нам жизнь. Например, допустим орудие развёрнуто в направлении 1, 0 и выстреливает снаряд со скоростью 20 метров в секунду. Каков в данном случае вектор скорости для выпущенного снаряда?
Так как вектор направления имеет длину равную единице, мы умножаем направление на скорость снаряда и получаем вектор скорости 20, 0. Если-же вектор направления имеет отличную от единицы длину, мы не сможем сделать этого. Снаряд будет либо слишком быстрым, либо слишком медленным. Вектор с длиной равной единице называется «нормализованным». Как сделать вектор нормализованным?
Довольно просто. Мы делим каждый компонент вектора на его длину. На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это: Здесь мы можем увидеть, что если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение больше нуля. Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю. И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение меньше нуля.
В основном, с помощью скалярного произведения векторов можно рассчитать, сколько их указывает в одном направлении. И хоть это лишь малая часть возможностей скалярного произведения, но уже очень для нас полезная. Допустим у нас есть стражник, расположенный в G 1, 3 смотрящий в направлении D 1,1 , с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H 3, 2. Как определить, находится-ли главный герой в поле зрения стражника или нет?
Сделаем это путём скалярного произведения векторов D и V вектора, направленного от стражника к главному герою. Мы уже знаем, что скалярное произведение имеет отношение к определению направления векторов. А каково его более точное определение? Пусть теперь угол обзора стражника будет равен 120 градусам. Затем определим угол между ними.
Если угол более 60 градусов половина от угла обзора , то главный герой находится вне поля зрения стражника. Понимаю, что это выглядит довольно сложно, но это потому, что мы всё делаем вручную. В программе это всё довольно просто. Допустим, что лодка расположена вдоль вектора направления 2, 1. В каких направлениях теперь стреляют пушки?
Это довольно просто в двухмерной графике. Чтобы повернуть направление на 90 градусов по часовой стрелке, достаточно поменять местами компоненты вектора, а затем поменять знак второму компоненту. Следовательно у корабля, расположенного вдоль вектора 2, 1 , пушки справа по борту будут стрелять в направлении 1, -2 , а пушки с левого борта, будут стрелять в противоположном направлении. Меняем знаки у компонент вектора и получаем -1, 2. А что если мы хотим рассчитать это всё для трехмерной графики?
Рассмотрим пример с кораблём. У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх 0, 1, 0 и направление ветра: север-северо-восток W 1, 0, 2. И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер». Направления, в которых «смотрит» та или иная поверхность. Например, рассмотрим треугольник с векторами вершин A, B и С.
Как мы найдем направление в котором «смотрит» треугольник, то есть направление перпендикулярное его плоскости? Это кажется сложным, но у нас есть инструмент для решения этой задачи.
На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно. Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста. Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию.
Киев: Обериг, 1994. Пособие, написанное известным педагогом, специалистом школьной геометрии, включает как векторные задачи, так и смешанные задачи классической геометрии, решаемые с помощью векторов.
В книге решены векторные задачи из сборников задач по математике под редакцией М. Сканави разных изданий.
В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках.
Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом. В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.
Другие презентации по данной теме
- Как решить задачу с использованием векторного метода
- 1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (Русаков метод реш зад механике), страница 25
- Урок "Применение векторов к решению задач"
- Урок решения ключевых задач Содержание Содержание 2
Тема 1.6.Применение векторов к решению задач
Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернём координатную решётку нашей модели? Давайте посмотрим внимательнее, что собой представляют координаты. Когда мы говорим о точке с координатами 3, 2 , мы говорим, что её местоположение находится в трех шагах от точки отсчёта по координатной оси X, и двух шагах от точки отсчёта по координатной оси Y. По-умолчанию координатные оси расположены так: вектор координатной оси X 1, 0 , вектор координатной оси Y 0, 1. Но координатные оси не обязательно должны быть в таком положении.
Если мы повернём координатные оси, в это-же время мы повернём все точки в координатной решётке. Чтобы получить повернутые оси X и Y мы применим тригонометрические функции, о которых говорили выше. Если мы поворачиваем на 49 градусов, то новая координатная ось X будет получена путём поворота вектора 0, 1 на 49 градусов, а новая координатная ось Y будет получена путём поворота вектора 0, 1 на 49 градусов. Итак вектор новой оси X у нас будет равен 0.
Это удобно в нашем случае, так как избавляет нас от необходимости применять тригонометрические преобразования к каждой из точек модели корабля. Однако, важно помнить, что мы можем использовать и другие базисные вектора, когда нам это нужно. Матрицы Матрицы похожи на двухмерные вектора. Например, типичная 2x2 матрица, может выглядеть так: [a c b d] Когда вы умножаете матрицу на вектор, вы суммируете скалярное произведение каждой строки с вектором, на который происходит умножение.
Это в точности такое-же выражение, которые мы использовали для смены базисных векторов. Это означает, что умножая 2x2 матрицу на двухмерный вектор, мы тем самым меняем базисные вектора. Например, если мы вставим стандартные базисные вектора в 1, 0 и 0, 1 в колонки матрицы, то мы получим: [1 0 0 1] Это единичная матрица, которая не даёт эффекта, который мы можем ожидать от нейтральных базисных векторов, которые мы указали. Если-же мы повернём базисные вектора на 49-градусов, то мы получим: [0.
Мы можем сделать код нашей игры Asteriods более элегантным, используя матрицы вроде этой. Тогда у нас будет единая структура данных, которая будет заключать в себе и применять информацию об ориентации объекта и его местоположении в пространстве. К счастью есть способ добиться этого, хоть это и выглядит не очень элегантно. Это важно, если не принимать в расчёт элегантность кода, так как с ней мы теперь можем использовать все стандартные манипуляции с матрицами.
Например перемножить матрицы, чтобы добавить нужный эффект, или мы можем инвертировать матрицу, чтобы получить прямо противоположное положение объекта. Трехмерные матрицы Матрицы в трехмерном пространстве работают так-же как и в двухмерном. Я приводил примеры с двухмерными векторами и матрицами, так как их просто отобразить с помощью дисплея, показывающего двухмерную картинку. Нам просто надо определить три колонки для базисных векторов, вместо двух.
Если базисные вектора это a,b,c , d,e,f and g,h,i то наша матрица будет выглядеть так: [a d g b e h c f i] Если нам нужно перемещение j,k,l , то мы добавляем дополнительную колонку и строку, как говорили раньше: [a d g j b e h k c f i l 0 0 0 1] И добавляем единицу [1] в вектор, как здесь: [x y z 1] Вращение в двухмерном пространстве Так как в нашем случае у нас только одна ось вращения расположенная на дисплее , единственное, что нам надо знать, это угол. Итак, начнём с координатной оси X 1, 0. Как видите — это работает. Но что если нам надо осуществить вращение вокруг точки, отличной от 0, 0?
Например, мы хотим вращать голову мартышки вокруг точки, расположенной в её ухе: Чтобы сделать это, мы можем начать с создания матрицы перемещения translation matrix T, которая перемещает объект из начальной точки в точку вращения в ухе мартышки, и матрицу вращения R, для вращения объекта вокруг начальной точки. Теперь для вращения вокруг точки, расположенной в ухе, мы можем сперва переместить точку в ухе на место начальной точки, с помощью инвертирования матрицы T, записанной как T-1. Затем, мы вращаем объект вокруг начальной точки, с помощью матрицы R, а затем применяем матрицу T для перемещения точки вращения назад, к своему исходному положению. Ниже дана иллюстрация к каждому из описанных шагов: Это важный шаблон, который мы будем применять позднее — применение вращения для двух противоположных трансформаций позволяет нам вращать объект в другом «пространстве».
Что очень удобно и полезно. Теперь рассмотрим трёхмерное вращение. Трёхмерное вращение Вращение вокруг оси Z работает по тому-же принципу, что и вращение в двухмерном пространстве. То-же самое.
Вращение только вокруг оси Z ограничивает нас, как насчёт вращения вокруг произвольной оси? Вращение, определяемое осью и углом Axis-angle rotation Представление вращения, определяемого осью и углом, также известно как вращение в экспоненциальных координатах, параметризованное вращением двух величин. Вектора, определяющего вращение направляющей оси прямая линия и угла, описывающего величину поворота вокруг этой оси. Вращение осуществляется согласно правилу правой руки.
Итак, вращение задаётся двумя параметрами axis, angle , где axis — вектор оси вращения, а angle — угол вращения. Этот приём довольно прост и являет собой отправную точку для множества других операций вращения, с которыми я работаю. Как практически применить вращение, определяемое осью и углом? Допустим мы имеем дело с осью вращения, показанной на рисунке ниже: Мы знаем как вращать объект вокруг оси Z, и мы знаем как вращать объект в других пространствах.
Итак, нам лишь надо создать пространство, где наша ось вращения будет являться осью Z. И если эта ось будет осью Z, то что будет являться осями X и Y? Займемся вычислениями сейчас. Чтобы создать новые оси X и Y нам нужно лишь выбрать два вектора, которые перпендикулярны новой оси Z и перпендикулярны друг другу.
Мы уже говорили ранее о векторном умножении, которое берёт два вектора и даёт в итоге перпендикулярный им вектор. У нас есть один вектор сейчас, это ось вращения, назовём его A. Возьмём теперь случайный другой вектор B, который находится не в том-же направлении, что и вектор A. Пусть это будет 0, 0, 1 к примеру.
Теперь мы имеем ось вращения A и случайный вектор B, мы можем получить нормаль C, через векторное произведение A и B. С перпендикулярен векторам A и B. Теперь мы делаем вектор B перпендикулярным векторам A и C через их векторное произведение. И всё, у нас есть все нужные нам оси координат.
На словах это звучит сложно, но довольно просто выглядит в коде или будучи показанным в картинках.
Вы можете перерешать большое количество отдельных задач, но до тех пор, пока у Вас не будет сформирован общий подход к решению: к анализу содержания задачи, поискам и осуществлению плана решения, проверке правильности и оформления решения и, наконец, к обсуждению и анализу проведенного решения, самостоятельно решать задачи Вы не научитесь. Таким образом, хорошо решать реальные, практические задачи можно научиться, только регулярно решая учебные задачи и детально анализируя ход решения.
Способ учиться решать задачи, решая их, не является новым. Он имеет многовековую историю. По собственному признанию этим способом пользовался еще великий Р.
Пример Р. Декарта достоин подражания. В результате такой анализ должен вылиться в систематизацию знаний и опыта, приобретенных в процессе решения задачи.
Как выполнять анализ решения задачи? На наш взгляд, заключительный этап решения задачи будет наиболее эффективным, если Вы будете проводить анализ в такой последовательности. Прежде всего, еще раз изучите найденное Вами решение.
Проследите, каждый ли шаг решения задачи Вами обоснован. Подумайте, нельзя ли решить задачу другим методом: получение того же результата другим методам — лучший способ убедиться в правильности результата. Вспомните, встречались ли Вам раньше задачи такого типа?
Если да, то опишите в тетради причины затруднений в решении именно данной задачи. Если нет, перечислите в тетради особенности решения этого нового для Вас 19 типа задач. Полезно иметь специальную тетрадь для анализа и размышлений, записи алгоритмов.
Запоминание пути определяется не только частотой его прохождения и объемом прилагаемых усилий, но в первую очередь уяснением отношений его частей к конечной цели. Попытайтесь отыскать новый, более рациональный для производственных задач — более экономичный , более общий, более изящный способ решения задачи, чем найденный. Изучите еще раз содержание задачи, способ ее решения и результат.
Выявите то полезное, ради чего стоило решать данную задачу. Обратите внимание на те теоретические положения, которые явились ключевыми при отыскании решения задачи. Исследуйте особые случаи решения данной задачи; соотнесите результат решения с предельными значениями отдельных ее элементов.
Обобщите результаты решения данной задачи, подумайте, при решении каких задач их можно было бы применить. Еще лучше — на основе решенной задачи составьте общую задачу способам составления задач будет посвящен следующий раздел , решите ее и разработайте алгоритм решения задач данного типа. Образцом для этого Вам может послужить алгоритм решения задач на закон сохранения импульса, который Вы составляли, решая задачи по механике.
Ознакомиться с содержанием задачи. Выяснить, какие тела взаимодействуют. Выяснить, в каких направлениях система замкнута.
Выполнить чертеж, указав на нем векторы импульсов. Выбрать оси координат и разложить импульсы тел по данным осям. Записать сумму импульсов по выбранным направлениям до взаимодействия и после.
Записать уравнение, выражающее закон сохранения импульса. Решить уравнение относительно искомой величины. Выразить единицы всех величин, входящих в найденное уравнение, в системе СИ, если задача из старого учебника.
Проверить правильность найденного решения путем операций с единицами величин. Подставить в формулу числовые значения величин в том же порядке, что символы в формуле, произвести вычисления. Оценить достоверность полученного значения искомой величины по здравому смыслу.
Выполнить анализ решения задачи. Если сопоставите приведенные здесь или разработанные Вами алгоритмы для решения другого типа задач, то заметите, что эти алгоритмы представляют собой частные случаи общего подхода к решению задач, описанного в данных методических указаниях. Самостоятельно разработать алгоритм решения задач определенного типа — это значит продемонстрировать умение решать задачи этого типа.
Предыдущие разделы позволили Вам посмотреть на привычные практические занятия по решению учебных задач по физике с несколько иной позиции. Вы увидели и отметили для себя, что на этих занятиях нужно обязательно получить знания о процессе решения, овладеть деятельностью, позволяющей грамотно проводить и описывать процесс решения задач, поняли, что осваивать эту деятельность, т. Поэтому на практических занятиях по любой дисциплине, включая физику, нужно не только усваивать методы решения отдельных типов задач, но и связанную с их решением деятельность, а также общие приемы, пригодные для решения любых задач.
Все эти знания и умения Вам нужны не только для решения уже готовых, предварительно кем-то сформулированных задач, но и для самостоятельного составления и формулировки новых, сначала учебных, а затем и производственных задач. В производственных условиях инженеру часто необходимо самому увидеть, из большого числа факторов выделить наиболее существенные, сформулировать условия и требования задачи так, чтобы решение в конечном итоге соответствовало цели, отвечало на нужный вопрос, снимало ограничения или, наоборот, выдвигало систему условий. Увидеть задачу, сформулировать ее и предложить для решения в виде, выявляющем нужные связи, совсем не простое дело.
Вырабатывать такое умение нужно начинать на практических занятиях по общенаучным и общеинженерным дисциплинам. Путь к овладению таким умением — самостоятельное составление задач. Процесс решения задачи начинается с изучения содержания задачи — детального анализа ее условий и требований.
Поэтому верная, грамотная формулировка содержания очень важна для каждой конкретной задачи. Четкая формулировка содержания задачи может указать направление поиска ее решения, помочь составлению плана решения. И, наоборот, нечеткая формулировка условия с большим числом несущественных связей может увести в сторону от верного пути решения.
Формулировкой условий и требований обычно завершается составление задачи. Что же нужно делать, чтобы придти к верной и четкой формулировке? Задача — это всегда отражение определенной ситуации, требующей направленного размышления и действия.
Для выявления такой ситуации нужно уметь наблюдать явления, устанавливать связи между величинами, характеризующими явления, выделять цель поиска и формулировать ее как конечный результат. Поэтому анализ ситуации, которую Вы хотите отразить в задаче, должен начинаться с вопросов, позволяющих ознакомиться с данной ситуацией и осмыслить ее. Эти вопросы очень сходны с теми, которые Вы используете при обычном анализе условий задачи.
Для предполагаемой задачи, т. Какое физическое явление будет рассмотрено в задаче? В каком объекте, и при каких условиях данное явление удастся наблюдать в наиболее ярком виде?
Какие свойства объекта при этом должны оставаться постоянными? Изменения, каких свойств объекта и внешних условий необходимо контролировать для наблюдения явления? Какие величины, характеризующие явление, могут быть заданы и измерены прямо?
Какие постоянные нужно использовать для решения задачи? Использование, каких других постоянных величин будет обязательно подразумевать предполагаемая задача? Можно ли характеризовать данное явление через наблюдение и проявление другого явления?
Какого именно? Цель Вашей деятельности при составлении задачи может быть разной. В зависимости от цели нужно по-разному подходить к ее составлению.
Существуют различные способы составления учебных задач. Самый простой из них — это составление задачи, обратной уже решенной, с использованием этого же сюжета и значения физических величин: Вам нужно только сделать искомую величину известной, а одно из данных задачи — искомым. Другой способ составления задачи — это использование других числовых значений физических величин и сюжета: фактически Вы должны сформулировать новую задачу, опираясь лишь на разобранную задачу.
Можно составить задачу, аналогичную решенной задаче, но с иным сюжетом или с другими числовыми значениями физических величин. Например, схема текста известна, и Вы должны подобрать новый сюжет и реальные данные. И еще можно сформулировать задачу так, чтобы результатом ее решения было нахождение другой физической величины: условие задачи дано, Вам нужно найти дополнительную физическую величину, зависящую от данных, приведенных в условии задачи.
Можно составить и обобщенную задачу. Все рассмотренные выше способы составления задач есть частный случай способа составления обобщенных задач. Обобщенная задача формулируется так, чтобы ее условия и требования направляли процесс решения на построение математической модели, позволяющей описать все возможные частные случаи изменений состояния рассматриваемого объекта.
Для составления обобщенной задачи необходимо: — проанализировать уравнение математическую модель , выражающее связь между величинами, характеризующими рассматриваемое явление; — выделить величины, изменение которых при выбранной математической модели отражается на значении искомой величины; — установить, исходя из реальных физических условий, возможные частные случаи; — учесть в обобщенной формулировке весь диапазон изменения условий. Умение составить и решить обобщенные задачи на определенный раздел однозначно свидетельствует о том, что Вы глубоко и всесторонне 22 изучили теоретический материал данного раздела. Вы усвоили, при каких условиях и как протекает явление процесс , рассматриваемое в этом разделе, хорошо разобрались в особенностях физических величин, введенных для количественного описания изученных явлений, вникли в суть законов, устанавливающих связь между этими величинами.
Иначе говоря, Вы усвоили изученный материал на таком уровне, что можете использовать его не только в знакомых стандартных ситуациях, но и готовы применять в новых нестандартных условиях. Основная задача Вашей учёбы в вузе — это получение профессиональных знаний и умений. Поэтому наиболее интересной и полезной для Вас окажется работа по самостоятельному составлению задач с профессиональным содержанием.
Дать конкретные советы по составлению таких задач сложно, так как их содержание может быть самым разным. Можно только указать общие правила и примеры, помогающие выполнить такое задание. Определите для себя и запишите ответы на такие вопросы.
Что служит выбрано объектом в составляемой задаче: материал с определенными свойствами, способ изменения свойств материала, способ контроля свойств или состояния материала, процесс, способ контроля физического технологического процесса, специальное устройство, механизм, прибор? Какие физические явления лежат в основе устройства, прибора, установки, выделенных методов контроля, рассматриваемого процесса? Какие физические величины с достаточной для практики полнотой характеризуют это явление, какой закон и какая теория описывают особенности протекания этого явления?
Какие величины в реальных условиях обычно бывают заданы? Какие из этих величин не изменяют своих значений? Возможно, что для ответа на эти вопросы придется обращаться к литературе по профилю Вашей будущей специальности: к справочникам, учебным пособиям, монографиям.
Даже не очень детальные, без мелких подробностей, ответы на такие вопросы позволяют Вам формулировать физическую задачу в виде реальной потребности, реального запроса производства. Составив несколько задач такого содержания, Вы на собственном примере еще раз убедитесь в особом значении и широком использовании физических знаний. Такое задание вполне выполнимо, для примера приведем задачи, составленные студентами.
Задача 1. Мостовой кран в механическом цехе вертикально поднимал контейнер с изделиями массой 250 кг на высоту 4 м с постоянной силой. При этом была совершена работа 10,6 кДж.
С каким ускорением поднимали груз? Задача 2. В процессе работы токарного патронно-центрового станка с ЧПУ в условиях повышенной температуры в его пневмоприводе используется инертный газ неон, который при низком давлении 45 кПа нагревается.
Объем при этом увеличивается от 2 м3 до 4 м3. Определить 23 изменение внутренней энергии неона; работу, совершенную при расширении; количество теплоты, сообщенное газу. Задача 3.
При обработке стальной детали массой 3 кг на токарновинторезном станке температура детали повысилась на 150 K. Для охлаждения детали применяется смазочная охлаждающая жидкость на основе воды. При этом жидкость повышает свою температуру на 15 K.
Сколько жидкости необходимо для охлаждения детали? В заключение дадим несколько советов о литературном оформлении условий и требований задачи, то есть о форме выражения условий и требований задачи. Задача обычно состоит из двух взаимосвязанных частей: утверждающей — несущей информацию о физических явлениях и процессах, о конкретных условиях их протекания, и требовательно вопросительной.
При формулировке утвердительной части как можно более полно и четко описывайте изучаемое явление. Используйте при этом логически законченные, правильно построенные и лучше простые предложения. Такое описание будет способствовать раскрытию внутренних связей между данными и искомыми элементами задачи.
Требовательно-вопросительная часть задачи должна быть точной и конкретной. Вопрос, по возможности, надо помещать в начале условия задачи, так как с него начинается активная мыслительная деятельность решающего. Старайтесь, чтобы вопрос ставил одну проблему.
Не объединяйте в одно предложение два вопроса. Если они оба нужны, то сформулируйте каждый из них в отдельности, задайте последовательно.
Заключение Проект предполагает изучение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве, его свойств и применение для решения различных задач. В проект также включены примеры нахождения площадей параллелограмма и треугольника с использованием векторного произведения. Тип проекта: Учебный проект Идея проекта: Изучение и применение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве. Цель проекта: Изучить и применить векторное произведение векторов для решения различных задач в трехмерном пространстве.
В создании вышеуказанных трудов большую роль сыграли запросы естествознания. Третий путь развития учения о векторах отразился в трудах французского ученого-механика Сен-Венана и видного русского ученого И. Сомова «Рациональная механика» , а также в работах выдающегося английского физика Джемса Кларка Максвелла. В последней четверти XIX столетия происходит синтез трех путей геометрического, алгебраического и физического исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики. Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом. Векторы называются равными, если — они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Пусть а — данный вектор, М — данная точка. Oчевидно, что вектор MN искомый.
Метод.пособие по методике реш. задач
Рассмотрим движение абсолютно твердого тела относительно лабораторной системы отсчета S. Если некоторая материальная точка M см. Поступательное движение абсолютно твердого тела — движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе. Для описания поступательного движения абсолютно твердого тела достаточно описать движение любой материальной точки этого тела. Число степеней свободы механической системы — число независимых физических величин, так называемых обобщенных координат, однозначно определяющих положение тел системы впространстве. Например, три координаты произвольной материальной точки тела, дваугла, задающих направление прямой, соединяющей две точки иугол поворота тела вокруг этой прямой. Плоское движение абсолютно твердого телаПлоское движение — движение тела, при котором траектории всех материальных точек тела лежат в параллельных плоскостях. В случае плоского движения абсолютно твердое тело имееттри степени свободы.
Вращательное движение абсолютно твердого тела вокругнеподвижной оси — плоское движение, при котором материальныеточки тела двигаются по окружностям с центрами, лежащими наэтой оси, называемой осью вращения.
Как определить, находится-ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путём скалярного произведения векторов D и V вектора, направленного от стражника к главному герою. Мы уже знаем, что скалярное произведение имеет отношение к определению направления векторов. А каково его более точное определение? Пусть теперь угол обзора стражника будет равен 120 градусам. Затем определим угол между ними. Если угол более 60 градусов половина от угла обзора , то главный герой находится вне поля зрения стражника.
Понимаю, что это выглядит довольно сложно, но это потому, что мы всё делаем вручную. В программе это всё довольно просто. Допустим, что лодка расположена вдоль вектора направления 2, 1. В каких направлениях теперь стреляют пушки? Это довольно просто в двухмерной графике. Чтобы повернуть направление на 90 градусов по часовой стрелке, достаточно поменять местами компоненты вектора, а затем поменять знак второму компоненту. Следовательно у корабля, расположенного вдоль вектора 2, 1 , пушки справа по борту будут стрелять в направлении 1, -2 , а пушки с левого борта, будут стрелять в противоположном направлении. Меняем знаки у компонент вектора и получаем -1, 2.
А что если мы хотим рассчитать это всё для трехмерной графики? Рассмотрим пример с кораблём. У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх 0, 1, 0 и направление ветра: север-северо-восток W 1, 0, 2. И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер». Направления, в которых «смотрит» та или иная поверхность. Например, рассмотрим треугольник с векторами вершин A, B и С. Как мы найдем направление в котором «смотрит» треугольник, то есть направление перпендикулярное его плоскости? Это кажется сложным, но у нас есть инструмент для решения этой задачи.
А затем применим векторное произведение, чтобы найти вектор, перпендикулярный им обоим, то есть перпендикулярный плоскости треугольника, также называемый «нормалью к плоскости». В результате поверхность выглядит яркой, когда на неё прямо падает свет, и тёмной, когда этого не происходит. Теперь перейдем к рассмотрению такого важного для разработчиков игр понятия, как «матрица преобразований» transformation matrix. Для начала изучим «строительные блоки» матрицы преобразований. Базисный вектор Допустим мы пишем игру Asteroids на очень старом «железе» и нам нужен простой двухмерный космический корабль, который может свободно вращаться в своей плоскости. Модель корабля выглядит так: Как нам рисовать корабль, когда игрок поворачивает его на произвольный градус, скажем 49 градусов против часовой стрелки. Затем при вычислении той или иной тригонометрической функции просто производится обращение к таблице. Пусть теперь наш корабль выглядит вот так: Теперь старый подход будет слишком медленным, так как надо будет поворачивать довольно большое количество точек.
Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернём координатную решётку нашей модели? Давайте посмотрим внимательнее, что собой представляют координаты. Когда мы говорим о точке с координатами 3, 2 , мы говорим, что её местоположение находится в трех шагах от точки отсчёта по координатной оси X, и двух шагах от точки отсчёта по координатной оси Y. По-умолчанию координатные оси расположены так: вектор координатной оси X 1, 0 , вектор координатной оси Y 0, 1. Но координатные оси не обязательно должны быть в таком положении. Если мы повернём координатные оси, в это-же время мы повернём все точки в координатной решётке. Чтобы получить повернутые оси X и Y мы применим тригонометрические функции, о которых говорили выше. Если мы поворачиваем на 49 градусов, то новая координатная ось X будет получена путём поворота вектора 0, 1 на 49 градусов, а новая координатная ось Y будет получена путём поворота вектора 0, 1 на 49 градусов.
Итак вектор новой оси X у нас будет равен 0. Это удобно в нашем случае, так как избавляет нас от необходимости применять тригонометрические преобразования к каждой из точек модели корабля. Однако, важно помнить, что мы можем использовать и другие базисные вектора, когда нам это нужно. Матрицы Матрицы похожи на двухмерные вектора. Например, типичная 2x2 матрица, может выглядеть так: [a c b d] Когда вы умножаете матрицу на вектор, вы суммируете скалярное произведение каждой строки с вектором, на который происходит умножение. Это в точности такое-же выражение, которые мы использовали для смены базисных векторов. Это означает, что умножая 2x2 матрицу на двухмерный вектор, мы тем самым меняем базисные вектора. Например, если мы вставим стандартные базисные вектора в 1, 0 и 0, 1 в колонки матрицы, то мы получим: [1 0 0 1] Это единичная матрица, которая не даёт эффекта, который мы можем ожидать от нейтральных базисных векторов, которые мы указали.
Если-же мы повернём базисные вектора на 49-градусов, то мы получим: [0. Мы можем сделать код нашей игры Asteriods более элегантным, используя матрицы вроде этой. Тогда у нас будет единая структура данных, которая будет заключать в себе и применять информацию об ориентации объекта и его местоположении в пространстве. К счастью есть способ добиться этого, хоть это и выглядит не очень элегантно. Это важно, если не принимать в расчёт элегантность кода, так как с ней мы теперь можем использовать все стандартные манипуляции с матрицами. Например перемножить матрицы, чтобы добавить нужный эффект, или мы можем инвертировать матрицу, чтобы получить прямо противоположное положение объекта. Трехмерные матрицы Матрицы в трехмерном пространстве работают так-же как и в двухмерном. Я приводил примеры с двухмерными векторами и матрицами, так как их просто отобразить с помощью дисплея, показывающего двухмерную картинку.
Нам просто надо определить три колонки для базисных векторов, вместо двух. Если базисные вектора это a,b,c , d,e,f and g,h,i то наша матрица будет выглядеть так: [a d g b e h c f i] Если нам нужно перемещение j,k,l , то мы добавляем дополнительную колонку и строку, как говорили раньше: [a d g j b e h k c f i l 0 0 0 1] И добавляем единицу [1] в вектор, как здесь: [x y z 1] Вращение в двухмерном пространстве Так как в нашем случае у нас только одна ось вращения расположенная на дисплее , единственное, что нам надо знать, это угол. Итак, начнём с координатной оси X 1, 0.
А правда ль воз и ныне ТАМ??? Когда в товарищах согласья нет, На лад их дело не пойдет, И выйдет из него не дело, только мука. Однажды Лебедь, Рак да Щука Везти с поклажей воз взялись И вместе трое все в него впряглись; Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу! Да Лебедь рвется в облака, Рак пятится назад, а Щука тянет в воду. Кто виноват из них, кто прав - судить не нам; Да только воз и ныне там. Говорят, что колеса поездов вращаются не равномерно, то есть есть точки на колесах которые перемещаются не вперед, а назад? Даны вершины треугольника А 0;2;0 , В -2;5;0 , С -2;2;6.
Найти его площадь. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого А 1;2;0 , В 3;0;-3 , С 5;2;6 заданы своими координатами в прямоугольной системе Ответ: 28 ед. Слайд 15 Описание слайда: Перед тем как Вы приступите к самостоятельной работе, еще раз вспомним: В каких областях науки можно применять знания о векторах?
Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.
Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них. Если выбранное вами соотношение по правилу 2 не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении.
Урок решения ключевых задач Содержание Содержание 2
| Векторы и их применение в прикладных науках презентация | Как сделать проект небольшой электроустановки. Составление схемы для электрика. |
| Векторы в действии: простое решение сложных задач | В настоящее время имеется несколько подходов к определению понятия вектор, определены действия над векторами, выделен круг задач, решаемых с помощью векторного метода, выявлены умения и навыки, позволяющие применять векторный метод на практике. |
| Кушнир И.А. Векторные методы решения задач | В работе представлены исторические аспекты векторного исчисления. Приведено решение задач с помощью понятия и свойств вектора. |
🗊Презентация Векторы на плоскости и в пространстве, векторный метод решения задач
Векторный метод решения задач широко используется в различных областях науки и техники. Он основан на понятии вектора, который характеризует направление и величину физической величины. Иногда использование знаний о векторах, а также умений и навыков построения векторов, их суммы и вычитания помогают решить некоторые задачи быстрее и легче, чем с использованием каких-то других методов. С помощью векторов доказываются многие теоремы. Одним из направлений в линейной алгебре является изучение векторов. Если в вашей игре применяется позиционирование экранных кнопок, работа с камерой и её направлением, скоростями объектов, то вам придётся иметь дело с векторами.